La curtea lui Urmuz - Pesimisme matematice (2)
Reiau discuţia despre faptul că intuiţia noastră poate avea surprize cu totul neaşteptate din partea matematicii, trecând direct la un exemplu. Rog cititorul să nu se sperie de cele câteva fracţii de mai jos (trei nu e un număr mare; se spune că există un trib în Africa ai cărui membri numără unu, doi, trei, mulţi…). Lucram pe la jumătatea anilor ’70 ai secolului trecut la centrul de calcul de la CEPECA Otopeni. Programare, dar şi economie „practică”, cercetări operaţionale de fapt. A apărut, nu mai ştiu de unde, o problemă de genul următor: Economiştii definesc eficienţa ca fiind raportul dintre efect şi efort. Efectul poate fi preţul de vânzare, efortul poate fi preţul/cheltuielile de producţie. Normal, cu cât mai mare eficienţa, cu atât mai bine.
Să presupunem că avem o întreprindere, să zicem, de nasturi. Modele de nasturi sunt multe, dar întreprinderea nu are decât un număr dat de maşini care să producă, automatizat sau nu, nu este important, nasturi, deci trebuie să aleagă un număr de modele egal cu numărul de maşini. Desigur, scopul este să se aleagă acele modele de nasturi care asigură eficienţa maximă la nivel de întreprindere.
Să simplificăm din plin, presupunând că există trei modele de nasturi şi că avem numai două maşini. La CEPECA aveam de a face cu „cadre de conducere”, şefi de secţie, ingineri şefi, directori. Nu erau deloc „politruci” cei cu care veneam în contact la centrul de calcul. Şi totuşi… Am formulat problema la aproximativ 100 de persoane. TOŢI au răspuns, cum era de aşteptat: alegem cele două modele de nasturi cu eficienţa cea mai mare.
Dumneavoastră nu aţi răspunde la fel? (Tonul meu sugerează că e o capcană aici, că nu acesta este răspunsul corect – faceţi, dacă se poate, abstracţie de context…)
Le-am dat apoi un exemplu numeric şi i-am rugat să-şi verifice propunerea.
Exemplul este: N1 = 4/7 (modelul 1 de nasturi aduce beneficiul 4, cu costul 7; poate fi un model de nasturi „militari”, costisitori, dar care se vând ieftin; 4 poate însemna „4 milioane de lei pe lună” etc.), N2 = 2/4 şi N3 = 3/2. Doar modelul 3 este rentabil în sine, dar nu putem ţine o maşină nefolosită. N3 este mai eficient/rentabil decât N1, care este mai rentabil decât N2. Conform intuiţiei şi conform răspunsului unanim al celor intervievaţi, rezultă că ar trebui să alegem modelele 1 şi 3. Dar, surpriză!, perechea N2, N3 este strict mai rentabilă:
(2 + 3)/(4 + 2) = 5/6 > (4 + 3)/(7 + 2) = 7/9
Ce spuneţi de situaţia asta? Exemplul este construit artificial, dar cine verifică cu adevărat situaţiile similare apărute în realitate? În niciun caz nematematicienii încrezători în simţul comun, în intuiţie. De câte ori ne păcălim?
Există însă şi rezultate cu efecte mai grave. Am mai vorbit despre teorema de imposibilitate a agregării ierarhiilor, a deciziilor multicriteriale, demonstrată de Kenneth J. Arrow pe la începutul anilor 1950 şi pentru care a primit Premiul Nobel în 1972. Au apărut ulterior multe alte teoreme similare – a se vedea Gh. Păun, „Paradoxurile clasamentelor”, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1987, a se vedea, mai aproape de vremurile noastre, Paolo Serafini, „Mathematics for the Rescue of Democracy. What does Voting Mean and How Can it be Improved?”, Springer Verlag, 2020. Titlul e optimist (Matematică pentru salvarea democraţiei), dar subtitlul (şi conţinutul cărţii) este mult mai realist: Ce înseamnă votul şi cum poate fi el îmbunătăţit?
Nu intru în detalii, reţin doar o „concluzie” generală a cărţii: pentru a salva (mă rog: îmbunătăţi) democraţia, primul pas este să ascultăm de matematică!… Va urma.
