La curtea lui Urmuz - Pesimisme matematice (1)
Titlul e uşor forţat, recunosc, dar el acoperă o situaţie reală, existenţa a numeroase rezultate-modele-teorii matematice care au semnificaţii pentru domenii extra-matematice, de interes public, ca să spun aşa, şi care conduc la concluzii care ne pun pe gânduri, pesimiste cu adevărat în multe cazuri. Matematica „practică” (cea inginerească, de exemplu) este cunoscută mai ales pentru soluţiile pe care le oferă, uneori neaşteptat de eficiente, pentru probleme dintre cele mai diverse şi care de cele mai multe ori nici nu se pot rezolva altfel (încercaţi să proiectaţi un pod fără a folosi matematică…). S-a vorbit de multe ori despre surprinzătoarea aplicabilitate a matematicii, a intrat în gândirea curentă această aplicabilitate, ea este vizibilă de altfel la fiecare pas.
Mult mai puţin se vorbeşte însă despre (1) ceea ce matematica nu poate face (în anume condiţii, pe care ea însăşi le explicitează) sau despre (2) ceea ce matematica ne spune că nu se poate face, deşi tare ne-ar plăcea/folosi să se poată face, sau, la fel de frustrant, intuitiv credem că se poate face. Cărţi întregi pot fi scrise pentru a ilustra, cu exemple şi eventual cu demonstraţii, fie şi sumare, cele spuse, dar ele nu intră în conştiinţa publică pentru că… nu se văd, precum aplicaţiile, sunt, într-un anume sens, „inutile”, iar de multe ori nu sunt nici uşor de formulat şi de înţeles.
Unele exemple au măcar o „valoare poetică” – mă gândesc la cuadratura cercului, sintagmă pe care o mai auzim din când în când şi în vorbirea curentă, altele îl lasă însă complet rece pe clasicul „om de pe stradă”. Mă întreb câţi dintre cititori ştiu că ecuaţiile de gradul cinci nu au formule de rezolvare prin radicali, aşa cum au cele de grad mai mic. Formula soluţiilor ecuaţiei de gradul doi este subiect standard la şcoală, chiar dacă nu ne mai amintim detaliile, ne amintim că ea există – ei bine, pentru ecuaţii de grad trei şi patru există formule similare, evident, mai complicate, dar NU şi pentru gradul cinci sau mai mare. Cum se poate demonstra asta? Greu. Au trudit Ruffini, Abel, Galois, au găsit şi „cea mai simplă ecuaţie de gradul cinci care nu se poate rezolva prin radicali”, ea este x5 – x – 1 = 0.
La ce ne foloseşte să ştim asta? Practic, la mai nimic – dar ne arată ce frumoasă este matematica şi, dacă chiar ne interesează, ne avertizează că… gramatica lumii este neintuitivă, matematica poate releva aspecte la care simţul comun nu poate ajunge (cam acesta este şi mesajul textului de faţă).
Sunt unele „rezultate negative” care au o mult mai adâncă semnificaţie, iar filosofii au de mult de lucru cu ele. Aşa sunt teoremele lui Gödel, considerat cel mai mare logician al tuturor timpurilor (jurnalistic: „aritmetica nu se poate axiomatiza”, ceva mai formal: „nu există niciun sistem axiomatic care să includă aritmetica şi să fie, în acelaşi timp, complet şi consistent”). Iar graniţe de genul lui formalizabil-neformalizabil pot avea nu numai semnificaţii filosofice, ci şi practice, de pildă, în cazul calculabil-necalculabil (este vorba despre calculabilitatea algoritmică, desigur; vă întrebaţi cum altfel ar mai putea fi calculabilitatea? analogică, de pildă). Şi mai practică este falia dintre (calculabil) eficient şi neeficient. Matematica aplicată în informatică (se mai numeşte şi informatică teoretică, depinde dinspre ce parte este privită) se ocupă de aşa ceva, iar limitele sunt frustrante: neaşteptat de apropiate de cele mai multe ori.
Dar nici la asemenea cazuri nu se referă neapărat titlul (şi intenţia) rândurilor de faţă – numai că, iarăşi frustrant, discuţia se amână pe săptămâna viitoare…
